Naslov Numeričko deriviranje funkcija realnog argumenta Naslov (engleski) Numerical derivatives of real argument functions Autor Marko Drmić Mentor Slavko Vujević Mentor Ivan Krolo Ustanova koja je dodijelila Sveučilište u Splitu Datum i država obrane 2022-03-02, Hrvatska Znanstveno / umjetničko TEHNIČKE ZNANOSTI Sažetak Glavni zadatak ovog završnog rada jest sagledavanje problematike numeričkog deriviranja kompleksnih i realnih funkcija realnog argumenta. U uvodnom poglavlju pobrojene su osnovne metode za numeričko deriviranje funkcija. U drugom poglavlju, detaljno je opisan algoritam za numeričko deriviranje kompleksnih i realnih funkcija realnog argumenta pomoću Taylorove formule, odnosno pomoću diferenciranja. Numeričke se derivacije funkcije mogu izračunati korištenjem unaprijedne, unazadne i centralne numeričke derivacije, od kojih je centralna derivacija daje najbolju aproksimaciju analitičke derivacije funkcije. U trećem poglavlju, detaljno je opisan algoritam za numeričko deriviranje kompleksnih funkcija kompleksnog argumenta pomoću Cauchyjeve integralne formule. Cauchyjeva integralna formula u kombinaciji s Gauss-Legendreovom numeričkom integracijom može se koristiti za numerički izračun derivacija kompleksnih analitičkih funkcija kompleksnog argumenta, gdje su kompleksne i realne analitičke funkcije realnog argumenta poseban slučaj. Ova metoda izbjegava većinu strogih matematičkih zahtjeva, a svodi se na numeričku integraciju duž krivulje zatvorene oko točke u kojoj se derivacija traži. U četvrtom poglavlju opisan je numerički algoritam za izračun prve derivacije realnih funkcija s kompleksnim korakom. Glavna prednost ove metode je da za vrlo mali korak ima vrlo visoku točnost, a točnost je ograničena samo točnošću kompajlera. Ovo je najjednostavnija metoda za izračun prve derivacije realnih funkcija. U petom poglavlju, dani su primjeri numeričkog izračuna prve i viših derivacija odabrane realne funkcije. Usporedba dobivenih rezultata s analitičkom derivacijom je, prema očekivanju, pokazala je da je za izračun prve numeričke derivacije realne funkcije najbolje koristiti numeričko deriviranje s kompleksnim korakom. Cauchyjeva integralna formula u kombinaciji s Gauss-Legendreovom numeričkom integracijom može se koristiti za numerički izračun derivacija kompleksnih analitičkih funkcija kompleksnog argumenta, gdje su kompleksne i realne analitičke funkcije realnog argumenta samo poseban slučaj. Ova metoda izbjegava većinu strogih matematičkih zahtjeva, a svodi se na numeričku integraciju duž krivulje zatvorene oko točke u kojoj se derivacija traži.
Sažetak (engleski) The main goal of this thesis is to study the problem of numerical derivative computation of the complex and real functions of a real argument. The introductory chapter gives an overview of the basic methods for numerical derivative computation. In the second chapter, the algorithm for numerical derivative computation of the complex and real functions of a real argument using the Taylor formula, i.e. by differentiation, is described. Numerical derivatives of a function can be computed using forward, backward and central numerical algorithms, of which central algorithm gives the best approximation of the analytical function derivative. In the third chapter, an algorithm for numerical derivative computation of the complex functions of a complex argument using Cauchy integral formula is described. Cauchy integral formula in combination with Gauss-Legendre numerical integration can be used to numerically compute the derivatives of complex analytic functions of a complex argument, where complex and real analytic functions of a real argument are a special case. This method avoids most strong mathematical requirements, and is implemented by numerical integration along a curve closed around the point at which derivative is computed. The fourth chapter describes a numerical algorithm for computing the first derivative of real functions using complex-step derivative approximation. The main advantage of this method is that for a very small step it has a very high accuracy, and its accuracy is limited only by the accuracy of the compiler. This is the simplest method for computing the first derivative of real functions. In the fifth chapter, examples of numerical computation of the first and higher derivatives of the selected real function are given. A comparison of the obtained results with the analytical derivative, as expected, showed that it is best to use a numerical algorithm with a complex step to compute the first numerical derivative of a real function. Cauchy’s integral formula combined with Gauss-Legendre numerical integration can be used to numerically compute the derivatives of complex analytic functions of a complex argument, where complex and real analytic functions of a real argument are only a special case. This method avoids most stringent mathematical requirements, and is reduced to numerical integration along a curve closed around the point where derivative is computed.
Ključne riječi
numeričko deriviranje
diferenciranje
Taylorova formula
Cauchyjeva integralna formula
numeričko deriviranje s kompleksnim korakom
Ključne riječi (engleski)
numerical derivative
differentiation
Taylor formula
Cauchy integral formula
complex-step derivative approximation
Jezik hrvatski URN:NBN urn:nbn:hr:179:431627 Studijski program Naziv: Elektrotehnika i informacijska tehnologija Vrsta resursa Tekst Način izrade datoteke Izvorno digitalna Prava pristupa Pristup svim korisnicima iz sustava znanosti i visokog obrazovanja RH Uvjeti korištenja Datum i vrijeme pohrane 2022-12-08 10:17:35
